Алексей Борисович Веллер родился 9 января 1966 года в Мурманске.
В 1987 г. окончил Московский инженерно-строительный институт им. В.В. Куйбышева по специальности "промышленное и гражданское строительство", получив квалификацию "инженер-строитель".
В 1987 г. был направлен по распределению в трест "Мурманскпромстрой". Трудовую деятельность там начал мастером строительно-монтажного участка в СМУ-1, а с июня 1989 г. возглавил строительно-монтажный участок СМУ-2.
С 1991 г. работал в МП "Строительная компания "Агростроймонтаж", преобразованном в 1992 г. в акционерное общество. В феврале 1993 г. назначен техническим директором компании, в 1996 г. избран генеральным директором, а в 2000 г. - председателем совета директоров.
В 2004 г. А. Веллер был избран в совет депутатов г. Мурманска третьего созыва. Занимался вопросами социально-экономического развития города, возглавлял постоянную комиссию по экономической политике и хозяйственной деятельности совета депутатов г. Мурманска.
Член президиума регионального политсовета партии "Единая Россия".
В 2009-2010 гг. являлся председателем совета депутатов г. Мурманска.
В ноябре 2010 г. избран главой муниципального образования г. Мурманск после добровольного ухода с с этого поста прежнего главы города - Степана Тананыкина. Исполняет полномочия председателя Совета депутатов города Мурманска.
Почетный строитель "Нечерноземагропромстроя".
Женат. Воспитывает троих детей.
